OLEH :
1. Ilham Fathullah
2. Linadi Gunawan
3. Jaenal Solihin
STATISTIKA
Statistika adalah cabang dari
matematika yang mempelajari cara mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan
data, mengolah dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan
parameter.
Kegiatan Statistika meliputi:
1. Mengumpulkan data
2. Menyusun data
3. Menyajikan data
4. Mengolah dan Menganalisis data
5. Menarik kesimpulan
6. Menafsirkan
1. Pengertian Datum dan Data
Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.
Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.
2. Pengertian Populasi dan Sampel
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Tegal. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal disebut populasi. Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Tegal yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi.
3. Pengumpulan Data
Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu
sebagai berikut.
1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau
bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu
data cacahan dan data ukuran.
a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh
dengan cara membilang. Misalnya, data tentang
banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh
dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang
ukuran tinggi badan murid.
2) Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.
Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas
objek. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan,
yaitu baik, sedang, dan kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan
wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.
Kegiatan Statistika meliputi:
1. Mengumpulkan data
2. Menyusun data
3. Menyajikan data
4. Mengolah dan Menganalisis data
5. Menarik kesimpulan
6. Menafsirkan
1. Pengertian Datum dan Data
Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.
Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.
2. Pengertian Populasi dan Sampel
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Tegal. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal disebut populasi. Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Tegal yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi.
3. Pengumpulan Data
Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu
sebagai berikut.
1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau
bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu
data cacahan dan data ukuran.
a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh
dengan cara membilang. Misalnya, data tentang
banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh
dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang
ukuran tinggi badan murid.
2) Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.
Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas
objek. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan,
yaitu baik, sedang, dan kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan
wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.
1. Diagram Garis
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.
Contoh:
Berikut simulasi diagram garis, kamu dapat mengubah-ubah diagram garis yang ada:
2. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah Berikut simulasi diagram batang, kamu dapat mengubah-ubah diagram batang yang ada
3. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian-bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Perhatikan contoh berikut ini. Berikut simulasi diagram lingkaran, kamu dapat mengubah-ubah diagram lingkaran yang ada
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.
Contoh:
Berikut simulasi diagram garis, kamu dapat mengubah-ubah diagram garis yang ada:
2. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah Berikut simulasi diagram batang, kamu dapat mengubah-ubah diagram batang yang ada
3. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian-bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Perhatikan contoh berikut ini. Berikut simulasi diagram lingkaran, kamu dapat mengubah-ubah diagram lingkaran yang ada
1. Distribusi Frekuensi
Tunggal
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit.
2. Distribusi Frekuensi Kelompok
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit.
2. Distribusi Frekuensi Kelompok
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
- Langkah ke-1 menentukan Jangkauan (J) = Xmax - Xmin
- Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan ke bawah.
- Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:
J
I = ––––
K
I = ––––
K
- Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
- Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.
3. Histogram
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.
4. Poligon
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.
Berikut simulasi histogram dan poligon
5. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.
6. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari disebut poligon kumulatif. Poligon kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.
4. Poligon
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.
Berikut simulasi histogram dan poligon
5. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.
6. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari disebut poligon kumulatif. Poligon kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.
2.
Median
1) Median untuk data tunggal
Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me.
Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengan cara:
a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,
b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:
Untuk n ganjil : Me = X1/2(n + 1)
Xn/2 + Xn/2 +1
Untuk n genap: Me = ––––––––––––
2
Keterangan:
xn/2 = data pada urutan ke-n/2 setelah diurutkan.
Contoh:
Tentukan median dari data: 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Jawab:
Data diurutkan menjadi: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
Median = data ke-(13 + 1)/2 = data ke-7
Jadi mediannya = 6
2) Median untuk data kelompok
Jika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.
Keterangan:
Kelas median adalah kelas yang terdapat data X1/2 n
L = tepi bawah kelas median
c = lebar kelas
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
1) Median untuk data tunggal
Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me.
Untuk menentukan nilai Median data tunggal dapat dilakukan dengan cara:
a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,
b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:
Untuk n ganjil : Me = X1/2(n + 1)
Xn/2 + Xn/2 +1
Untuk n genap: Me = ––––––––––––
2
Keterangan:
xn/2 = data pada urutan ke-n/2 setelah diurutkan.
Contoh:
Tentukan median dari data: 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8
Jawab:
Data diurutkan menjadi: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9
Median = data ke-(13 + 1)/2 = data ke-7
Jadi mediannya = 6
2) Median untuk data kelompok
Jika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.
Keterangan:
Kelas median adalah kelas yang terdapat data X1/2 n
L = tepi bawah kelas median
c = lebar kelas
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
3.
Modus
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
1) Modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan
frekuensi tertinggi.
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:
Tentukan modus dari data di bawah ini.
2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10
Jawab:
Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.
2. Modus data kelompok
Modus data kelompok dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan:
L = tepi bawah kelas modus
c = lebar kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.
1) Modus data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan
frekuensi tertinggi.
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:
Tentukan modus dari data di bawah ini.
2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10
Jawab:
Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.
2. Modus data kelompok
Modus data kelompok dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan:
L = tepi bawah kelas modus
c = lebar kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Kuartil (Q)
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.
1) Kuartil data tunggal
Urutkan data dari yang kecil ke yang besar, kemudian tentukan kuartil dengan rumus sebagai berikut:
Contoh:
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Jawab:
Langkah 1: urutkan data dari kecil ke besar sehingga diperoleh
3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.
1(15+1)
Langkah 2: Letak data Q1=–––––––– = 4
4
Jadi Q1 terletak pada data ke-empat yaitu 4
2(15+1)
Langkah 3: Letak data Q2=–––––––– = 8
4
Jadi Q2 terletak pada data ke-delapan yaitu 7
3(15+1)
Langkah 4: Letak data Q1=–––––––– = 12
4
Jadi Q3 terletak pada data ke-duabelas yaitu 8
2) Kuartil data kelompok
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
L = tepi bawah kelas kuartil ke-i
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
c = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.
1) Kuartil data tunggal
Urutkan data dari yang kecil ke yang besar, kemudian tentukan kuartil dengan rumus sebagai berikut:
Contoh:
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Jawab:
Langkah 1: urutkan data dari kecil ke besar sehingga diperoleh
3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.
1(15+1)
Langkah 2: Letak data Q1=–––––––– = 4
4
Jadi Q1 terletak pada data ke-empat yaitu 4
2(15+1)
Langkah 3: Letak data Q2=–––––––– = 8
4
Jadi Q2 terletak pada data ke-delapan yaitu 7
3(15+1)
Langkah 4: Letak data Q1=–––––––– = 12
4
Jadi Q3 terletak pada data ke-duabelas yaitu 8
2) Kuartil data kelompok
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
L = tepi bawah kelas kuartil ke-i
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
c = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil
Ukuran pemusatan yaitu mean, median
dan modus, merupakan informasi yang memberikan penjelasan kecenderungan data
sebagai wakil dari beberapa data yang ada. Adapun ukuran penyebaran data
memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik-titik pemusatan.
1. Jangkauan (Range)
Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.
1) Range data tunggal
Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:
R = xmaks – xmin
Contoh :
Tentukan range dari data-data di bawah ini.
6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20
Jawab:
Dari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3
Jadi, R = xmaks – xmin
= 20 – 3 = 17
2) Range data kelompok
Untuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.
2. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)
Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rataan hitung.
1) Simpangan rata-rata data tunggal
Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
2) Simpangan rata-rata data kelompok
Simpangan rata-rata data kelompok dirumuskan:
3. Simpangan Baku (Deviasi Standar) dan Ragam
Sebelum membahas simpangan baku atau deviasi standar, perhatikan contoh berikut. Kamu tentu tahu bahwa setiap orang memakai sepatu yang berbeda ukurannya. Ada yang berukuran 30, 32, 33, ... , 39, 40, dan 41. Perbedaan ini dimanfaatkan oleh ahli-ahli statistika untuk melihat penyebaran data dalam suatu populasi. Perbedaan ukuran sepatu biasanya berhubungan dengan tinggi badan manusia. Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.
1) Simpangan baku dan ragam data tunggal
Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
2) Ragam dan Simpangan baku data kelompok Ragam (
) dan Simpangan baku (s) data kelompok
dirumuskan sebagai berikut.
Soal No. 11. Jangkauan (Range)
Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.
1) Range data tunggal
Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:
R = xmaks – xmin
Contoh :
Tentukan range dari data-data di bawah ini.
6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20
Jawab:
Dari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3
Jadi, R = xmaks – xmin
= 20 – 3 = 17
2) Range data kelompok
Untuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.
2. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)
Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rataan hitung.
1) Simpangan rata-rata data tunggal
Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
2) Simpangan rata-rata data kelompok
Simpangan rata-rata data kelompok dirumuskan:
3. Simpangan Baku (Deviasi Standar) dan Ragam
Sebelum membahas simpangan baku atau deviasi standar, perhatikan contoh berikut. Kamu tentu tahu bahwa setiap orang memakai sepatu yang berbeda ukurannya. Ada yang berukuran 30, 32, 33, ... , 39, 40, dan 41. Perbedaan ini dimanfaatkan oleh ahli-ahli statistika untuk melihat penyebaran data dalam suatu populasi. Perbedaan ukuran sepatu biasanya berhubungan dengan tinggi badan manusia. Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.
1) Simpangan baku dan ragam data tunggal
Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
2) Ragam dan Simpangan baku data kelompok Ragam (
) dan Simpangan baku (s) data kelompok dirumuskan sebagai berikut.
Diberikan data nilai ujian matematika anak kelas XI IPA-1 sebagai berikut:
7, 8, 8, 6, 8, 6, 9, 7, 6, 8, 5, 8
Tentukan modus dari data di atas!
Pembahasan
Modus diambil dari data yang paling banyak tampil atau muncul. Dari data di atas terlihat modusnya adalah 8.
Soal No. 2
Diberikan data sebagai berikut:
6, 7, 7, 8, 9, 8, 6, 7, 8, 5, 9, 4
Tentukan modus dari data yang disajikan di atas!
Pembahasan
Terlihat yang paling banyak tampil adalah 7 dan 8, masing-masing sama sebanyak 3 kali muncul. Jadi modusnya adalah 7 dan 8.
Soal No. 3
Perhatikan data berikut:
7, 8, 9, 10, 5, 4, 2, 3, 1
Tentukan modus datanya!
Pembahasan
Data ini tidak memiliki modus, tidak ada suatu nilai yang muncul lebih sering dari yang lain.
Soal No. 4
Perhatikan tabel distribusi frekuensi data tunggal berikut ini:
| Nilai | frekuensi (f) |
| 5 6 7 8 9 |
1 5 11 8 4 |
Pembahasan
Yang paling banyak muncul adalah nilai yaitu 7 sebanyak 11 kali. Jadi modusnya adalah 7.
Soal No. 5
Perhatikan tabel berikut!
| Berat (kg) | Frekuensi |
| 31 - 36 37 - 42 43 - 48 49 - 54 55 - 60 61 - 66 67 - 72 |
4 6 9 14 10 5 2 |
A. 49,06 kg
B. 50,20 kg
C. 50,70 kg
D. 51,33 kg
E. 51,83 kg
(Statistika - UN Matematika SMA Tahun 2007)
Pembahasan
Rumus menentukan modus untuk data berkelompok:
dimana:
tb = titik bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
p = panjang kelas
Dari tabel soal diperoleh kelas modusnya adalah interval 49 - 54 (yang frekuensinya paling banyak), data lainnya:
tb = 49 − 0,5 = 48,5
d1 = 14 − 9 = 5
d2 = 14 − 10 = 4
p = 36,5 − 30,5 = 6
Sehingga modusnya adalah:
Soal No. 6
Data di samping adalah data skor hasil ulangan matematika kelas XII IPS suatu SMA.
| Skor | Frekuensi |
| 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 46 - 50 |
5 8 12 18 16 5 |
Modus dari data pada tabel adalah...
A. 36,75
B. 37,25
C. 38,00
D. 38,50
E. 39,25
(UN Matematika 2012 - Program IPS)
Pembahasan
Menentukan modus data
Soal No. 7
Perhatikan histogram berikut yang menyajikan data berat badan (dalam kg) 30 orang siswa. Modus data tersebut adalah...
A. 47,5
B. 48,25
C. 48,75
D. 49,25
E. 49,75
Pembahasan
Perhatikan perbedaan model ini dengan soal sebelumnya, yaitu pada pengambilan panjang interval kelas dan titik bawah kelas modus.
Untuk model soal ini tb = 45,5 (tidak perlu dikurangi 0,5 lagi, karena sudah menyajikan titik bawah secara langsung pada datanya) dan panjang kelasnya p = 50,5 − 45,5 = 5.
